Угол вписанный в окружность равен половине дуги. Вписанный угол, теория и задачи
Угол ABC - вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (рис. 330).
Теорема . Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (рис. 331).
Пусть ∠ABC - вписанный угол и центр круга О лежит на стороне BC. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги AC.
Соединим точку A с центром круга. Получим равнобедренный \(\Delta\)AOB, в котором АО = OB, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, ∠A = ∠B.
∠AOC является внешним по отношению к треугольнику AOB, поэтому ∠AOC = ∠А + ∠В, а так как углы А и В равны, то ∠В составляет 1 / 2 ∠AOC.
Но ∠AOC измеряется дугой АС, следовательно, ∠В измеряется половиной дуги АС.
Например, если \(\breve{AC}\) содержит 60°18’, то ∠В содержит 30°9’.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (рис. 332).
Пусть ∠ABD - вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что ∠ABD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр BC. Угол ABD разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
∠1 измеряется половиной дуги АС, а ∠2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь ∠АВD измеряется 1 / 2 \(\breve{AC}\) + 1 / 2 \(\breve{CD}\), т. е. половиной дуги АD.
Например, если \(\breve{AD}\) содержит 124°, то ∠В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (рис. 333).
Пусть ∠MAD - вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что ∠MAD измеряется половиной дуги MD.
Для доказательства проведём диаметр AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Но ∠MAB измеряется 1 / 2 \(\breve{MB}\), а ∠DAB измеряется 1 / 2 \(\breve{DB}\).
Следовательно, ∠MAD измеряется 1 / 2 (\(\breve{MB} - \breve{DB})\), т. е. 1 / 2 \(\breve{MD}\).
Например, если \(\breve{MD}\) содержит 48° 38", то ∠MAD содержит 24° 19’ 8".
Следствия
1.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги
(рис. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (рис. 334, б).
В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .
Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:
2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:
Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.
В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.
3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :
4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:
Решим несколько задач.
1 . Задание B7 (№ 27887)
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:
Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°
Ответ: 45°
2 .Задание B7 (№ 27888)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.
Ответ: 135°
3 . Задание B7 (№ 27890)
Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:
Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.
Ответ: 45°.
4 . Задание B7 (№ 27885)
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.
Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°
Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.
Рассмотрим треугольник ADC:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°
Ответ: 40°
5 . Задание B7 (№ 27872)
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°
Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°
Ответ: 108°
6 . Задание B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
(см. чертеж предыдущей задачи)
Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:
АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.
4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.
Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.
Следовательно, угол А равен 60°
Ответ: 60°
7 . Задание B7 (№ 27874)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD
Понятие вписанного и центрально угла
Введем сначала понятие центрального угла.
Замечание 1
Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается .
Введем теперь понятие вписанного угла.
Определение 2
Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).
Рисунок 2. Вписанный угол
Теорема о вписанном угле
Теорема 1
Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$. Обозначим вписанный угол $ACB$ (рис. 2). Возможны три следующих случая:
- Луч $CO$ совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона $CB$ (рис. 3).
Рисунок 3.
В этом случае дуга $AB$ меньше ${180}^{{}^\circ }$, следовательно, центральный угол $AOB$ равен дуге $AB$. Так как $AO=OC=r$, то треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, углы при основании $CAO$ и $ACO$ равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:
- Луч $CO$ делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке $D$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Получаем
- Луч $CO$ не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).
Рисунок 5.
Рассмотрим отдельно углы $ACD$ и $DCB$. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
Теорема доказана.
Приведем следствия из данной теоремы.
Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.
Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.
Сегодня мы рассмотрим очередной тип задач 6 — на этот раз с окружностью. Многие ученики не любят их и считают сложными. И совершенно напрасно, поскольку такие задачи решаются элементарно , если знать некоторые теоремы. Или не решаются вообще, если их не знать.
Прежде чем говорить об основных свойствах, позвольте напомнить определение:
Вписанный угол — тот, у которого вершина лежит на самой окружности, а стороны высекают на этой окружности хорду.
Центральный угол — это любой угол с вершиной в центре окружности. Его стороны тоже пересекают эту окружность и высекают на ней хорду.
Итак, понятия вписанного и центрального угла неразрывно связаны с окружностью и хордами внутри нее. А теперь — основное утверждение:
Теорема. Центральный угол всегда в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.
Несмотря на простоту утверждения, существует целый класс задач 6, которые решаются с помощью него — и никак иначе.
Задача. Найдите острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности.
Пусть AB — рассматриваемая хорда, O — центр окружности. Дополнительное построение: OA и OB — радиусы окружности. Получим:
Рассмотрим треугольник ABO . В нем AB = OA = OB — все стороны равны радиусу окружности. Поэтому треугольник ABO — равносторонний, и все углы в нем по 60°.
Пусть M — вершина вписанного угла. Поскольку углы O и M опираются на одну и ту же дугу AB , вписанный угол M в 2 раза меньше центрального угла O . Имеем:
M = O : 2 = 60: 2 = 30
Задача. Центральный угол на 36° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.
Введем обозначения:
- AB — хорда окружности;
- Точка O — центр окружности, поэтому угол AOB — центральный;
- Точка C — вершина вписанного угла ACB .
Поскольку мы ищем вписанный угол ACB , обозначим его ACB = x . Тогда центральный угол AOB равен x + 36. С другой стороны, центральный угол в 2 раза больше вписанного. Имеем:
AOB
= 2 · ACB
;
x
+ 36 = 2 · x
;
x
= 36.
Вот мы и нашли вписанный угол AOB — он равен 36°.
Окружность — это угол в 360°
Прочитав подзаголовок, знающие читатели, наверное, сейчас скажут: «Фу!» И действительно, сравнивать окружность с углом не совсем корректно. Чтобы понять, о чем речь, взгляните на классическую тригонометрическую окружность:
К чему эта картинка? А к тому, что полный оборот — это угол в 360 градусов. И если разделить его, скажем, на 20 равных частей, то размер каждой из них будет 360: 20 = 18 градусов. Именно это и требуется для решения задачи B8.
Точки A , B и C лежат на окружности и делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1: 3: 5. Найдите больший угол треугольника ABC .
Для начала найдем градусную меру каждой дуги. Пусть меньшая из них равна x . На рисунке эта дуга обозначена AB . Тогда остальные дуги — BC и AC — можно выразить через AB : дуга BC = 3x ; AC = 5x . В сумме эти дуги дают 360 градусов:
AB
+ BC
+ AC
= 360;
x
+ 3x
+ 5x
= 360;
9x
= 360;
x
= 40.
Теперь рассмотрим большую дугу AC , которая не содержит точку B . Эта дуга, как и соответствующий центральный угол AOC , равна 5x = 5 · 40 = 200 градусов.
Угол ABC — самый большой из всех углов треугольника. Это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол AOC . Значит, угол ABC в 2 раза меньше AOC . Имеем:
ABC = AOC : 2 = 200: 2 = 100
Это и будет градусная мера большего угла в треугольнике ABC .
Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника
Эту теорему многие забывают. А зря, ведь некоторые задачи B8 без нее вообще не решаются. Точнее, решаются, но с таким объемом вычислений, что вы скорее уснете, чем дойдете до ответа.
Теорема. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Что следует из этой теоремы?
- Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин треугольника. Это прямое следствие теоремы;
- Медиана, проведенная к гипотенузе, делит исходный треугольник на два равнобедренных. Как раз это и требуется для решения задачи B8.
В треугольнике ABC провели медиану CD . Угол C равен 90°, а угол B — 60°. Найдите угол ACD .
Поскольку угол C равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный. Получается, что CD — медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, треугольники ADC и BDC — равнобедренные.
В частности, рассмотрим треугольник ADC . В нем AD = CD . Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны — см. «Задача B8: отрезки и углы в треугольниках ». Поэтому искомый угол ACD = A .
Итак, осталось выяснить, чему равен угол A . Для этого снова обратимся к исходному треугольнику ABC . Обозначим угол A = x . Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна 180°, имеем:
A
+ B
+ BCA
= 180;
x
+ 60 + 90 = 180;
x
= 30.
Разумеется, последнюю задачу можно решить по-другому. Например, легко доказать, что треугольник BCD — не просто равнобедренный, а равносторонний. Значит, угол BCD равен 60 градусов. Отсюда угол ACD равен 90 − 60 = 30 градусов. Как видите, можно использовать разные равнобедренные треугольники, но ответ всегда будет один и тот же.
Чаще всего процесс подготовки к ЕГЭ по математике начинается с повторения основных определений, формул и теорем, в том числе и по теме «Центральный и вписанный в окружность угол». Как правило, данный раздел планиметрии изучается еще в средней школе. Неудивительно, что многие учащиеся сталкиваются с необходимостью повторения базовых понятий и теорем по теме «Центральный угол окружности». Разобравшись с алгоритмом решения подобных задач, школьники смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена.
Как легко и эффективно подготовиться к прохождению аттестационного испытания?
Занимаясь перед сдачей единого государственного экзамена, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска нужной информации по теме «Центральный и вписанный углы в окружности». Далеко не всегда школьный учебник имеется под рукой. А поиск формул в Интернете порой отнимает очень много времени.
«Прокачать» навыки и улучшить знания в таком непростом разделе геометрии, как планиметрия, вам поможет наш образовательный портал. «Школково» предлагает старшеклассникам и их преподавателям по-новому выстроить процесс подготовки к сдаче единого госэкзамена. Весь базовый материал представлен нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с информацией в разделе «Теоретическая справка», учащиеся узнают, какими свойствами обладает центральный угол окружности, как найти его величину и т. д.
Затем для закрепления полученных знаний и отработки навыков мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий на нахождение величины угла, вписанного в окружность, и других параметров представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Готовиться к ЕГЭ, практикуясь в выполнении упражнений, к примеру, на нахождение величины центрального угла и длины дуги окружности, старшеклассники могут в онлайн-режиме, находясь в любом российском регионе.
При необходимости выполненное задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и еще раз разобрать принцип его решения.
