Значит lim. Предел функции: основные понятия и определения. Урок и презентация на тему: "Предел функции на бесконечности"
Определения конечных и бесконечных пределов функции на бесконечности по Коши. Определения двусторонних и односторонних пределов (слева и справа). Примеры решений задач, в которых, используя определение Коши, требуется показать, что предел на бесконечности равен заданному значению, .
СодержаниеСм. также:
Окрестность точки
Универсальное определение предела функции по Гейне и по Коши
Конечный предел функции на бесконечности
Предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при |x| > N
Определение предела по Коши
Число a
называется пределом функции
f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), если
1) существует такая |x| >
2) для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0
,
существует такое число N ε > K
,
зависящее от ε
,
что для всех x, |x| > N ε
,
значения функции принадлежат ε
- окрестности точки a
:
|f(x)
- a| < ε
.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или при .
Также часто используется следующее обозначение:
.
Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.
Односторонние пределы
Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) - a| < ε
при x < -N
Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.
Левый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к минус бесконечности ()
определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке
или предел при x
стремящемся к плюс бесконечности ()
:
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;
.
Бесконечный предел функции на бесконечности
Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M
при |x| > N
Определение бесконечного предела по Коши
Предел функции f(x)
при x
стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности
, если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки |x| > K
,
на которой функция определена (здесь K
- положительное число);
2) для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число N M > K
,
зависящее от M
,
что для всех x, |x| > N M
,
значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)
| > M
.
Бесконечный предел при x
стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.
Определение предела функции по Гейне
Число a
(конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x)
в точке x 0
:
,
если
1) существует такая окрестность бесконечно удаленной точки x 0
,
на которой функция определена (здесь или или );
2) для любой последовательности {
x n }
,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность {
f(x n )}
сходится к a
:
.
Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x 0 : или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.
Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны .
Примеры
Пример 1
Используя определение Коши показать, что
.
Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции .
Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x
кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение . ;
.
Корни уравнения:
;
.
Поскольку ,
то и .
Поэтому функция определена при .
Это мы будем использовать в дальнейшем.
Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на -1
:
.
Пусть .
Тогда
;
;
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
.
Отсюда следует, что
при ,
и .
Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем .
Тогда для любого ,
при .
Это означает, что .
Пример 2
Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1)
;
2)
.
1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности
Поскольку ,
то функция определена для всех x
.
Выпишем определение предела функции при ,
равного минус бесконечности:
.
Пусть .
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M
,
имеется число ,
так что при ,
.
Это означает, что .
2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности
Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:
.
Выпишем определение правого предела функции при :
.
Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Пусть
.
Тогда
;
.
Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
при и .
Поскольку это выполняется для любого положительного числа ,
то
.
Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\end{equation}
Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $e\approx{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=\frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation} \lim_{t\to{0}}\biggl(1+t\biggr)^{\frac{1}{t}}=e\end{equation}
Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное - выполнение двух условий:
- Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
- Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $\frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.
Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^\infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.
Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела . Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.
Пример №1
Вычислить предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7}$.
Сразу отметим, что основание степени (т.е. $\frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x-5}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{3-\frac{5}{x}} =\frac{3+0}{3-0} =1. $$
При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $\lim_{x\to\infty}(4x+7)=\infty$.
Основание степени стремится к единице, показатель степени - к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^\infty$. Применим формулу для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы расположено выражение $1+\frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $\frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $\frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+\frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-5}\right)^{4x+7} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} $$
Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что
$$ \frac{3x+1}{3x-5}-1 =\frac{3x+1}{3x-5}-\frac{3x-5}{3x-5} =\frac{3x+1-3x+5}{3x-5} =\frac{6}{3x-5}. $$
Так как $\frac{3x+1}{3x-5}-1=\frac{6}{3x-5}$, то:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+ \frac{3x+1}{3x-5}-1\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} $$
Продолжим «подгонку». В выражении $1+\frac{1}{x}$ формулы в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+\frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:
$$ 1+\frac{6}{3x-5} =1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}} $$
Таким образом,
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{6}{3x-5}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} $$
Итак, основание степени, т.е. $1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+\frac{1}{x}$, который требуется в формуле . Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:
Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $\frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $\frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{4x+7} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}\cdot\frac{6}{3x-5}\cdot(4x+7)} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{3x-5}{6}}\right)^{\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}} $$
Отдельно рассмотрим предел дроби $\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot(4x+7)}{3x-5} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{6\cdot\left(4+\frac{7}{x}\right)}{3-\frac{5}{x}} =6\cdot\frac{4}{3} =8. $$
Ответ : $\lim_{x\to{0}}\biggl(\cos{2x}\biggr)^{\frac{1}{\sin^2{3x}}}=e^{-\frac{2}{9}}$.
Пример №4
Найти предел $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)$.
Так как при $x>0$ имеем $\ln(x+1)-\ln{x}=\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$, то:
$$ \lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) $$
Раскладывая дробь $\frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ получим:
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right) =\lim_{x\to+\infty}\left(\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)^x\right) =\ln{e} =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to+\infty}x\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=1$.
Пример №5
Найти предел $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}$.
Так как $\lim_{x\to{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $\lim_{x\to{2}}\frac{2x}{x^2-4}=\infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=x-2;\;x=t+2\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{2t+4}{t^2+4t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}\cdot 3t\cdot\frac{2t+4}{t^2+4t}} =\lim_{t\to{0}}\left(\biggl(1+3t\biggr)^{\frac{1}{3t}}\right)^{\frac{6\cdot(t+2)}{t+4}} =e^3. $$
Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=\frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:
$$ \lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}} =\left|\begin{aligned}&t=\frac{1}{x-2};\;x=\frac{2t+1}{t}\\&t\to\infty\end{aligned}\right| =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^{t\cdot\frac{4t+2}{4t+1}}=\\ =\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}\cdot\frac{3}{t}\cdot\frac{t\cdot(4t+2)}{4t+1}} =\lim_{t\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{t}{3}}\right)^{\frac{6\cdot(2t+1)}{4t+1}} =e^3. $$
Ответ : $\lim_{x\to{2}}\biggl(3x-5\biggr)^{\frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.
Пример №6
Найти предел $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} $.
Выясним, к чему стремится выражение $\frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $x\to\infty$:
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3}{2x^2-4} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right| =\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x^2}}{2-\frac{4}{x^2}} =\frac{2+0}{2-0}=1. $$
Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^\infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x} =|1^\infty| =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{7}{2x^2-4}\right)^{3x} =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{3x}=\\ =\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}\cdot\frac{7}{2x^2-4}\cdot 3x} =\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{1}{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{2x^2-4}{7}}\right)^{\frac{21x}{2x^2-4}} =e^0 =1. $$
Ответ : $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+3}{2x^2-4}\right)^{3x}=1$.
Рассмотрим функцию %%f(x)%%, определенную, по крайней мере, в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой.
Понятие предела по Коши
Число %%A \in \mathbb{R}%% называют пределом функции %%f(x)%% в точке %%a \in \mathbb{R}%% (или при %%x%%, стремящемся к %%a \in \mathbb{R}%%), если, каково бы ни было положительное число %%\varepsilon%%, найдется положительное число %%\delta%%, такое, что для всех точек проколотой %%\delta%%-окрестности точки %%a%% значения функции принадлежат %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%, или
$$ A = \lim\limits_{x \to a}{f(x)} \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text{U}_\varepsilon (A) \big) $$
Это определение называется определением на языке %%\varepsilon%% и %%\delta%%, предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.
Комбинируя различные окрестности точки %%a%% вида %%\stackrel{\circ}{\text{U}}_\delta(a), \text{U}_\delta (\infty), \text{U}_\delta (-\infty), \text{U}_\delta (+\infty), \text{U}_\delta^+ (a), \text{U}_\delta^- (a)%% с окрестностями %%\text{U}_\varepsilon (A), \text{U}_\varepsilon (\infty), \text{U}_\varepsilon (+\infty), \text{U}_\varepsilon (-\infty)%%, получим 24 определения предела по Коши.
Геометрический смысл
Геометрический смысл предела функции
Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции %%y = f(x)%% и отметим на нем точки %%x = a%% и %%y = A%%.
Предел функции %%y = f(x)%% в точке %%x \to a%% существует и равен A, если для любой %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%% можно указать такую %%\delta%%-окрестность точки %%a%%, что для любого %%x%% из этой %%\delta%%-окрестности значение %%f(x)%% будет находиться в %%\varepsilon%%-окрестности точки %%A%%.
Отметим, что по определению предела функции по Коши для существования предела при %%x \to a%% не важно, какое значение принимает функция в самой точке %%a%%. Можно привести примеры, когда функция не определена при %%x = a%% или принимает значение, отличное от %%A%%. Тем не менее предел может быть равен %%A%%.
Определение предела по Гейне
Элемент %%A \in \overline{\mathbb{R}}%% называется пределом функции %%f(x)%% при %% x \to a, a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если для любой последовательности %%\{x_n\} \to a%% из области определения, последовательность соответствующих значений %%\big\{f(x_n)\big\}%% стремится к %%A%%.
Определение предела по Гейне удобно использовать, когда возникают сомнения в существовании предела функции в данной точке. Если можно построить хотя бы одну последовательность %%\{x_n\}%% с пределом в точке %%a%% такую, что последовательность %%\big\{f(x_n)\big\}%% не имеет предела, то можно сделать вывод о том, что функция %%f(x)%% не имеет предела в этой точке. Если для двух различных последовательностей %%\{x"_n\}%% и %%\{x""_n\}%%, имеющих одинаковый предел %%a%%, последовательности %%\big\{f(x"_n)\big\}%% и %%\big\{f(x""_n)\big\}%% имеют различные пределы, то в этом случае также не существует предел функции %%f(x)%%.
Пример
Пусть %%f(x) = \sin(1/x)%%. Проверим, существует ли предел данной функции в точке %%a = 0%%.
Выберем сначала сходящуюся к этой точке последовательность $$ \{x_n\} = \left\{\frac{(-1)^n}{n\pi}\right\}. $$
Ясно, что %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb{N}%% и %%\lim {x_n} = 0%%. Тогда %%f(x_n) = \sin{\left((-1)^n n\pi\right)} \equiv 0%% и %%\lim\big\{f(x_n)\big\} = 0%%.
Затем возьмем сходящуюся к той же точке последовательность $$ x"_n = \left\{ \frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
для которой %%\lim{x"_n} = +0%%, %%f(x"_n) = \sin{\big((4n + 1)\pi/2\big)} \equiv 1%% и %%\lim\big\{f(x"_n)\big\} = 1%%. Аналогично для последовательности $$ x""_n = \left\{-\frac{2}{(4n + 1)\pi} \right\}, $$
также сходящейся к точке %%x = 0%%, %%\lim\big\{f(x""_n)\big\} = -1%%.
Все три последовательности дали разные результаты, что противоречит условию определения по Гейне, т.е. данная функция не имеет предела в точке %%x = 0%%.
Теорема
Определение предела по Коши и по Гейне эквивалентны.
Методы решения пределов. Неопределённости.
Порядок роста функции. Метод замены
Пример 4
Найти предел 
Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).
Если «икс» стремится к «минус бесконечности»
Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов.
Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий:
1) Вычислим предел 
Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю
отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени
, в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: . Константа («двойка») положительна
, поэтому:
2) Вычислим предел 
Здесь старшая степень опять чётная
, поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная
константа –1), следовательно:
3) Вычислим предел 
Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю
отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени
равно «минус бесконечности», в данном случае: .
Константа («четвёрка») положительна
, значит:
4) Вычислим предел
Первый парень на деревне снова обладает нечётной
степенью, кроме того, за пазухой отрицательная
константа, а значит: Таким образом:
.
Пример 5
Найти предел 
Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков:
Решение тривиально:
Пример 6
Найти предел 
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев:
Пример 7
Найти предел 
Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи: 
Решаем:
Разделим числитель и знаменатель на
Пример 15
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной:
Пример 16
Найти предел
При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс?
Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице . Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю.
Проведем замену:
Если , то
Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ».
Из замены выражаем: .
Завершаем решение:
(1) Проводим подстановку
(2) Раскрываем скобки под косинусом.
(4) Чтобы организовать первый замечательный предел , искусственно домножаем числитель на и обратное число .
Задание для самостоятельного решения:
Пример 17
Найти предел
Полное решение и ответ в конце урока.
Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения , приходится использовать самые разные тригонометрические формулы , а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =)
В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью:
Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность»
Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел , и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так.
Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?
На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):
Неопределённость можно устранить по формуле:
Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы:
1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой .
2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.
С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы , которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :
В данном случае 
, и по формуле 
:
Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел.
Предел функции в точке и при
Предел функции - основной аппарат математического анализа. С его помощью определяется в дальнейшем непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда.
Пусть функция y = f (x ) определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может самой точки .
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне) . Число b называется пределом функции y = f (x ) в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу b (т.е. ).
В этом случае пишут или при . Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х , достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа b .
Определение 2 (на «языке e-d», или по Коши) . Число b называется пределом функции y = f (x ) в точке (или при ), если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Записывают .
Это определение коротко можно записать так:
Заметим, что можно записать и так .
Геометрический смысл предела функции: , если для любой e-окрестности точки b найдётся такая d-окрестность точки , что для всех из этой d-окрестности соответствующие значения функции f (x ) лежат в e-окрестности точки b . Иными словами, точки графика функции y = f (x ) лежат внутри полосы шириной 2e, ограниченной прямыми у = b + e, у = b - e (рисунок 17). Очевидно, что величина d зависит от выбора e, поэтому пишут d = d(e).
В определении предела функции считается, что х стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Определение . Число называется пределом функции y = f (x ) слева в точке , если для любого числа e > 0 существует число d = d(e) > 0, такое, что при , выполняется неравенство .
Предел слева записывается так или коротко (обозначение Дирихле) (рисунок 18).
Аналогично определяется предел функции справа , запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначается .
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами . Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела, причём .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела и и они равны, то существует предел и .
Если же , то не существует.
Определение . Пусть функция y = f (x ) определена в промежутке . Число b называется пределом функции y = f (x ) при х ® ¥, если для любого числа e > 0 существует такое число М = М (e) > 0, что при всех х , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так:
Если х ® +¥, то пишут , если х ® -¥, то пишут , если = , то их общее значение принято обозначать .
Геометрический смысл этого определения таков: для , что при и соответствующие значения функции y = f (x ) попадают в e-окрестность точки b , т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2e, ограниченной прямыми и (рисунок 19).
Бесконечно большие функции (б.б.ф)
Бесконечно малые функции (б.м.ф)
Определение . Функция y = f (x ) называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 существует число d = d(М ) > 0, что для всех х , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается или при .
Например, функция есть б.б.ф. при .
Если f (x ) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .
Определение . Функция y = f (x ), заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при , если для любого числа М > 0 найдётся такое число N = N (М ) > 0, что для всех х , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается . Коротко:
Например, есть б.б.ф. при .
Отметим, что если аргумент х , стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. , то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может не быть б.б.ф. (Например, )
Однако, если , где b - конечное число , то функция f (x ограничена в окрестности точки .
Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие . Следовательно, при , а эот означает, что функция f (x ) ограничена.
Определение . Функция y = f (x ) называется бесконечно малой при , если
По определению предела функции это равенство означает: для любого числа найдётся число такое, что для всех х , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
Аналогично определяется б.м.ф. при
: Во всех этих случаях .
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми ; обозначаются обычно греческими буквами a, b и т.д.
Примерами б.м.ф. служат функции при
Другой пример: - бесконечно малая последовательность.
Пример Доказать, что .
Решение . Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х - 2 (при ), т.е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 3.4.6 получаем .
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда и , аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.
Теорема 5.8 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .
Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.
Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .
Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности,
Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Пример Вычислить
Решение .
Пример Вычислить
Решение . Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на :
Пример Вычислить
Решение . Здесь мы имеем дело с неопределённость вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на :
Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.
Первый и второй замечательные пределы
Определение. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
называемый первым замечательным пределом .
Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Пример Найти
Решение . Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и
Пример 3 Найти
Решение .
Определение. Равенства и называются вторым замечательным пределом .
Замечание . Известно, что предел числовой последовательности
Имеет предел, равный е: . Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются Заметим, что
Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция
Если положить то из следует . Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение
Пример Найти
Решение . Обозначим очевидно, при Имеем
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, ~ x при т.к. ~ x при , т.к.
