Получим дробь сократить выйдет. Онлайн калькулятор сокращения алгебраических дробей с подробным решением позволяет сократить дробь и перевести неправильную дробь в правильную дробь
На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Основное свойство дроби
Представьте себе такую ситуацию.
За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) яблока.
А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\)
При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по \(\mathbf{\frac{10}{6}}\)
Но это одно и то же.
\(\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}\)
Эти дроби эквивалентны.
Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.
В математике это формулируется так:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной .
Это свойство иногда называют «основным свойством дроби ».
$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$
Например, Путь от города до деревни- 14 км.
Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли \(\mathbf{\frac{6}{14}}\) пути.
Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- \(\mathbf{6\cdot40 = 240}\) столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- \(\mathbf{\frac{240}{560}}\)
\(\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}\)
Пример 1
Отметьте точку с координатами (5; 7 ) на координатной плоскости XО Y . Она будет соответствовать дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)
Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?
Решение
Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X . Проведем прямую из начала координат через нашу точку.
На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби \(\mathbf{\frac{10}{14}}\)
Они являются эквивалентными: \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}\)
Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Что такое "сокращение дробей"
Сократить дробьСократить дробь - значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.
В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.
К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .
Приведение дробей к несократимому виду
В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?
Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.
a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)
Приведение дроби к несократимому виду
Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.
Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.
Правило сокращения дробей
Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.
Правило сокращения дробей
Чтобы сократить дробь нужно:
- Найти НОД числителя и знаменателя.
- Разделить числитель и знаменатель на их НОД.
Рассмотрим практические примеры.
Пример 1. Сократим дробь.
Дана дробь 182 195 . Сократим ее.
Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.
195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13
Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.
Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.
Пример 2. Сократим дробь
Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.
Для этого представим исходную дробь в виде:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7
Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:
360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49
Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.
Пример 3. Сократим дробь
Сократим дробь 2000 4400 .
Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :
- сокращение дробей
- умножение дробей
- деление дробей
Начнем с сокращения алгебраических дробей .
Казалось бы, алгоритм очевиден.
Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно
1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Сократить одинаковые множители.
Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби "сокращают" на и получают в результате , что, разумеется, неверно.
Рассмотрим примеры:
1.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов
2. Разделим числитель и знаменатель на
2.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.
2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.
3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:
Умножение алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Важно!
Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.
Рассмотрим примеры:
3. Упростите выражение:
1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:
2. Разложим каждую скобку на множители:
Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком:
и в результате деления первого выражения на второе получим -1.
Итак, 
Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:
То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".
Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.
Рассмотрим пример:
4. Упростите выражение:
В прошлый раз мы составили план, следуя которому, можно научиться быстро сокращать дроби. Теперь рассмотрим конкретные примеры сокращения дробей.
Примеры .
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее (числитель на знаменатель или знаменатель на числитель)? Да, во всех трех этих примерах бо́льшее число делится на меньшее. Таким образом, каждую дробь сокращаем на меньшее из чисел (на числитель либо на знаменатель). Имеем:
Проверяем, а не делится ли бо́льшее число на меньшее? Нет, не делится.
Тогда переходим к проверке следующего пункта: а не оканчивается ли запись и числителя, и знаменателя одним, двумя или несколькими нулями? В первом примере запись числителя и знаменателя оканчивается нулем, во втором — двумя нулями, в третьем — тремя нулями. Значит, первую дробь сокращаем на 10, вторую — на 100, третью — на 1000:
Получили несократимые дроби.
Бо́льшее число на меньшее не делится, запись чисел нулями не оканчивается.
Теперь проверяем, а не стоят ли числитель и знаменатель в одном столбце в таблице умножения? 36 и 81 оба делятся на 9, 28 и 63 — на 7, а 32 и 40 — на 8 (они делятся еще и на 4, но если есть возможность выбора, всегда сокращать будем на бо́льшее). Таким образом, приходим к ответам:
Все полученные числа являются несократимыми дробями.
Бо́льшее число на меньшее не делится. А вот запись и числителя, и знаменателя оканчивается нулем. Значит, сокращаем дробь на 10:
Эту дробь еще можно сократить. Проверяем по таблице умножения: и 48, и 72 делятся на 8. Сокращаем дробь на 8:
Полученную дробь еще можем сократить на 3:
Эта дробь — несократимая.
Бо́льшее из чисел на меньшее не делится. Запись числителя и знаменателя оканчивается на нуль.Значит, сокращаем дробь на 10.
Полученные в числителе и знаменателе числа проверяем на и . Так как сумма цифр и 27, и 531 делятся на 3 и на 9, то эту дробь можно сократить как на 3, так и на 9. Выбираем большее и сокращаем на 9. Полученный результат — несократимая дробь.
Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Сокращать можно только множители!
Члены многочленов сокращать нельзя!
Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.
Рассмотрим примеры сокращения дробей.
В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.
Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.
Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.
a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.
b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.
c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,
Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:
И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.
Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.
В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:
Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):
В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:
В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:
Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:
В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):
Сокращаем дробь на (x+2):
